2020國家公務(wù)員考試行測備考指導(dǎo)：容斥問題解題攻略
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國家公務(wù)員考試的難度讓許多人都大喊太難了，但是為了，我們能做的就是地充實(shí)自己，完善自己。容斥問題作為國家公務(wù)員考試考試時的必考點(diǎn)，它的解題方法和技巧我們必須要牢固的掌握，才能更好地迎接考試，甚至是做到快人一步。為此，中公教育專家給大家整理了容斥問題在做題時的常用技巧。
一、概念
容斥問題即包含與排斥問題，它是一種計(jì)數(shù)問題。在計(jì)數(shù)時，幾個計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從他們的和中排除重復(fù)部分，采用這種計(jì)數(shù)方法的題型稱為容斥問題。簡單來說就是要做到不重不漏。此類題目的題目特點(diǎn)為：題中給出多個概念，各個概念之間有集合關(guān)聯(lián)。
二、解題原則
將重復(fù)計(jì)數(shù)的次數(shù)變?yōu)橐淮危蛘哒f是把重疊的面積變?yōu)橐粚?，做到不重不漏。即先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)量先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時重復(fù)計(jì)算的數(shù)量剔除掉，把遺漏的數(shù)量補(bǔ)上，使得計(jì)算結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。
三、解題方法——公式法
1.兩者容斥： 2.三者容斥： 3.容斥極值： 四、經(jīng)典例題
【例1】某科研單位共有68名科研人員，其中45人具有碩士以上學(xué)歷，30人具有高級職稱，12人兼而有之。既沒有高級職稱也沒有碩士以上學(xué)歷的科研人員有多少人?
A.13 B.10 C.5 D.8
【解析】C。根據(jù)題目可知題中涉及的項(xiàng)目共有兩個，屬于二者容斥的問題。直接利用兩者容斥的公式將相關(guān)數(shù)據(jù)帶入可得： ，求得 。選擇C選項(xiàng)。
【例2】開設(shè)三門選修課，某年級有240人，其中有120人選擇英語寫作，有95人選擇書法，有78人選擇精算學(xué)，其中有105人選擇三種學(xué)科中的至少兩種，30人三中學(xué)科都選擇了，問該年級三種都沒選的有多少人?
A.122 B.82 C.112 D.216
【解析】B。認(rèn)真分析題目不難發(fā)現(xiàn)題中共出現(xiàn)了三個項(xiàng)目，因此該題為三者容斥問題。在該題中要注意的是題中說有105人選擇三種學(xué)科中的至少兩種，至少兩種包含了兩種及三種兩種情況。因此根據(jù)公式結(jié)合不重不漏的原則可得： ,將相關(guān)數(shù)據(jù)帶入可以求得： 。故選擇B。
【例3】一次考試共有200人參加，試卷共5道題，凡答對3題或3題以上就為合格?？荚嚱Y(jié)果為：答錯第一題的28人，答錯第二題的42人，打錯第三題的30人，答錯第四題的32人，答錯第五題的18人，則合格的至少有多少人?
A.120 B.175 C.150 D.100
【解析】C。分析題目可知題中涉及的項(xiàng)目較多有5項(xiàng)，且題干要求的是合格人數(shù)至少位多少，可以初步判定此為容斥極值問題。但是分析后會發(fā)現(xiàn)直接求解合格人數(shù)至少有多少無法求解，此時需要反向去求。要求合格人數(shù)至少即求不合格人數(shù)至多。要求不合格人數(shù)最多，根據(jù)題目可知當(dāng)每人只錯三題時不合格人數(shù)最多。而答錯的總題數(shù)為： ，所以不合格人數(shù)最多為 ，則合格人數(shù)至少為： 。選擇C選項(xiàng)。
容斥問題在考試過程中若出題較為簡單則直接利用公式法求解即可，偶爾也可以結(jié)合文氏圖進(jìn)行加以分析幫助思路更加的清晰。而要注意的是在多者容斥極值中需要我們更加的用心和細(xì)心的去分析題干。千磨萬擊還堅(jiān)勁，任爾東西南北風(fēng)，因此只要我們將基礎(chǔ)打扎實(shí)了，多加練習(xí)，相信大家都能!
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（責(zé)任編輯：李明）
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